Číselné soustavy

Co je to číselná soustava? Číselná soustava je jasně daný způsob zápisu čísel (hodnot, které reprezentují) pomocí číslic (symbolů).

Asi málokdo nikdy neslyšel v souvislosti s počítači o jedničkách a nulách. Proč o nich ale v tomto kontextu mluvíme?

Jedničky a nuly jsou jedinými symboly binární (dvojkové) soustavy. A dnešní počítače používají právě dvojkovou soustavu pro uchovávání a práci s daty, a proto by ji každý, kdo se chce informatikou alespoň trochu zabývat, měl znát.

Předtím, než se podíváme na binární soustavu, si zopakujeme soustavu desítkovou, tedy tu, kterou používáme dnes a denně. Pak se zaměříme na dvojkovou soustavu a ukážeme si i soustavu šestnáctkovou, se kterou se také můžeme běžně setkat. Nakonec si ukážeme, jak čísla napříč různými soustavami převádět.

Desítková (dekadická) soustava

Jak už název napovídá, desítková soustava pracuje s desíti symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Jiné symboly v čísle zapsaném v desítkové soustavě nenajdeme. Naše desítková soustava je tzv. poziční číselnou soustavou. To znamená, že hodnotu takto zapsaného čísla získáme z hodnoty jednotlivých číslic v závislosti na jejich poloze – za každé posunutí cifry doleva její hodnotu násobíme desítkou. Můžeš se na to dívat i tak, že pokud k číslu přičítáme jedničku, další cifru dostaneme až poté, co se na stávající pozici vystřídá deset hodnot (od 0 po 9).

Počet hodnot, kterých v soustavě může nabývat jedna cifra, značí bázi číselné soustavy a typicky jí odpovídá i název (desítková soustava – deset symbolů – báze 10).

Je dobré si uvědomit, že poziční soustavy nám přináší několik výhod, díky kterým se nám s čísly lépe pracuje.

Jednou z výhod je snadné porovnávání dvou čísel. V tu chvíli nám stačí podívat se, které z čísel má delší zápis, abychom věděli, které je vyšší. V případě, že jsou obě stejně dlouhé nám stačí čísla porovnávat cifru po cifře, dokud nenarazíme buď na konec (a v takovém případě jsou čísla stejná), nebo na cifru, na které se čísla liší – v takovém případě je vyšší to číslo, které má na první takové cifře číslici s vyšší hodnotou.

Druhou výhodou, kterou poziční soustavy přinášejí, jsou techniky jako třeba počítání s čísly pod sebou. Například při sčítání pod sebou vždy sčítáme spolu jen ty cifry, které jsou na stejných pozicích a o ostatní pozice se nezajímáme (musíme si samozřejmě pohlídat přenos do vyšších řádů), čímž sčítání dvou libovolně velkých čísel umíme redukovat na sčítání dvou, respektive tří (i s převodem) jednociferných čísel.

Různé způsoby zápisu čísla

Podívejme se ještě na jeden trik, který s číselnými soustavami přímo nesouvisí, ale u ostatních soustav nám přijde vhod, a tím jsou různé zápisy čísla. Ty nám usnadňují práci s čísly, která by jinak byla nepohodlná (např. existuje takzvaná vědecká notace, díky které můžeme úsporně zapsat velmi malá nebo naopak velmi velká čísla).

Nás teď bude zajímat zápis čísel, který si možná budeš pamatovat ze začátku základní školy. Tak, jako jsme v příkladě výše rozepisovali číslo 42 jako čtyři desítky a dvě jednotky, tak stejným způsobem zapíšeme jiná čísla s pomocí násobení čistě numericky:

Každé číslo v desítkové soustavě můžeme zapsat tímto způsobem. Pojďme tento zápis lehce vylepšit a namísto tisíců, stovek či jednotek použijme mocniny báze:

Pro lepší pochopení dalších soustav (a pak především při převodech mezi soustavami) se nám tento způsob zápisu bude hodit.

Dvojková (binární) soustava

Stejně jako desítková i binární soustava je poziční. Na rozdíl od desítkové si při zápisu čísel musíme vystačit s pouhými dvěma znaky. To znamená, že čísla ve dvojkové soustavě budou mít zpravidla delší zápis než ty v desítkové, protože tam, kde bychom v desítkové soustavě nahradili jedničku dvojkou, musíme v dvojkové soustavě napsat nulu a zvýšit hodnotu v cifře o řád vyšší. Na stranu druhou, přesně tato vlastnost je důvodem, proč v počítačích používáme binární soustavu – je zkrátka jednodušší vytvořit paměťovou buňku, která umí nabývat pouze dvou stavů (0 a 1) než desíti. Zvlášť když se počty takových buněk v dnešních počítačích pohybují v bilionech.

Podívejme se na prvních pár čísel z desítkové a dvojkové soustavy.

Jak je vidět, na nule a jedničce žádný rozdíl nenajdeme. Už u dvojky ale vidíme něco zajímavého. Zatímco v desítkové soustavě píšeme 2, jak jsme zvyklí, ve dvojkové soustavě další symbol nemáme a musíme tedy přejít do vyššího řádu. Stejná situace nastává u čtyřky. Jak jsme si řekli, délka zápisu roste mnohem rychleji než v případě desítkové soustavy.

Podívejme se na převod z dvojkové do desítkové soustavy. V předchozí části jsme si ukázali zápis čísla v desítkové soustavě jako součet hodnot jednotlivých cifer násobených mocninou báze. Zkusme použít stejný zápis i pro číslo ve dvojkové soustavě.

Když si číslo zapíšeme takto, od získání jeho hodnoty v desítkové soustavě nás už dělí pouze dopočítání odpovídajících součtů. V prvním případě tedy získáme číslo 6, v druhém případě číslo 9 (v desítkové soustavě).

Převodu druhým směrem (tj. z desítkové) se budeme věnovat v poslední kapitole. Nejdřív se však krátce zastavíme u slíbené šestnáctkové soustavy, s tou se můžeme setkat možná častěji než s dvojkovou.

Šestnáctková (hexadecimální) soustava

Šestnáctková číselná soustava, jak již název napovídá, má šestnáct hodnot pro jednu cifru: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E a F. Pokud bychom v desítkové soustavě museli přenášet do vyššího řádu, tj. z 9 pokračovat na 10, v šestnáctkové soustavě půjdeme z 9 na A. Hodnoty zapsané v šestnáctkové soustavě tedy budou kratší (budou mít méně cifer) než jejich zápis v desítkové a především ve dvojkové soustavě. To je ostatně také jeden z hlavních důvodů, proč šestnáctkovou soustavu používáme.

Převod do desítkové soustavy funguje stejně jako v případě dvojkové, opět si rozepíšeme převáděné číslo tak, abychom viděli bázi explicitně a hodnoty jednotlivých cifer sečteme.

Šestnáctkovou soustavu ale zpravidla nepoužíváme místo desítkové soustavy, ale většinou místo dvojkové. Díky tomu, že šestnáct je mocninou dvojky (2⁴), zachovává si šestnáctková soustava vlastnosti dvojkové s výhodou kratšího zápisu – pro vyjádření čtyř cifer ve dvojkové soustavě nám stačí právě jeden znak v šestnáctkové soustavě.

Díky této vlastnosti jsou i převody mezi těmito dvěma soustavami přímočaré. Pro převod z dvojkové soustavy do šestnáctkové nám stačí každé čtyři cifry dvojkové přepsat na jedinou šestnáctkovou. Jediné, na co si musíme dát pozor, je, aby číslo, které převádíme mělo délku dělitelnou čtyřmi, jinak musíme na začátek doplnit příslušný počet nul (stejně jako bychom z 12₁₀ udělali čtyřciferné číslo doplněním nul 0012₁₀). Alternativně můžeme převod začít od nejnížších cifer, takže nakonec ve vyšších řádech skončíme s méně než čtyřmi ciframi a nuly doplníme až během převodu.

Převody opačným směrem pak fungují úplně stejně. Každou šestnáctkovou cifru nahradíme čtyřmi ciframi ve dvojkové soustavě.

Díky svým vlastnostem našla šestnáctková soustava své využití tam, kde chceme kombinovat výhody binární soustavy (korespondence s paměťovými buňkami) s výhodou kratšího zápisu.

Jednou z oblastí, kde se s šestnáctkovou soustavou můžes setkat, je práce s barvami. Pokud vytváříš web, pracuješ s photoshopem nebo si chceš jen sám zvolit přesnou barvu v nějakém kancelářském balíku, většinou můžeš barvu zadat v RGB (Red-Green-Blue) formátu, kdy intenzitu každé barvy vyjadřujeme dvěma číslicemi šestnáctkové soustavy. Čím vyšší hodnota složky, tím vyšší intenzita barvy.

Kdybychom chtěli druhou barvu (ff78ff) zapsat v binární soustavě, potřebovali bychom následujících dvacet čtyři cifer: 11111111 01111000 11111111.

Další využití šestnáctkové soustavy můžeme najít v oblasti sítí, kde se dlouho používá pro tzv. MAC adresy. V dnešním internetu se pomalu ale jistě prosazuje IP protokol ve své šesté verzi (podrobněji se sítím budeme věnovat v samostatném textu), jenž pro jednu IP adresu používá 128 bitů (16 bajtů). Kdybychom si chtěli takovou adresu zapisovat binárně nebo třeba (po jednotlivých bajtech) dekadicky, byl by takový zápis poměrně dlouhý. Místo toho se IPv6 adresa zapisuje šestnáctkově po dvou bajtech (např. fe80:abcd:1111:1111:cafe:00bc:0000:0001).

Převody mezi soustavami

Teď, když už známe několik číselných soustav, se podíváme na převody nejen mezi nimi, ale mezi jakýmikoliv číselnými soustavami navzájem. U soustav, kde je jeden základ násobkem druhého je práce poměrně jednoduchá, protože můžeme pracovat s jednotlivými ciframi / skupinami cifer tak, jak jsme si to už ukázali v případě šestnáctkové s dvojkovou.

Pro soustavy, kde si báze takto pěkně neodpovídají si ukážeme možná trošku složitější, zato ovšem univerzální způsob.

Budeme potřebovat funkci s poněkud tajemným názvem – modulo. Funkce samotná ale nijak složitá není, ve skutečnosti se jedná o zbytek po dělení. Značit ji budeme mod.

V informatice ji používáme vcelku často, a proto je dobré vědět, co se pod tímto názvem skrývá.

S funkcí modulo a klasickým dělením se můžeme pustit do převodu napříč soustavami.

Převod se skládá ze dvou částí. V první části převedeme dané číslo do desítkové soustavy. To už umíme – číslo si rozepíšeme s explicitní bází, každou cifru spočítáme zvlášť a mezivýsledky sečteme.

V druhé fázi máme číslo v desítkové soustavě, které chceme převést do jiné. Abychom jej převedli, začneme číslo postupně dělit novou bází, dokud se nedostaneme na nulu, přičemž si v průběhu dělení zapisujeme mezivýsledky funkce modulo (tj. zbytky po dělení). Jakmile dosáhneme nuly, máme hotovo, přičemž jsou to právě zapsané mezivýsledky, které popisují, jak bude číslo v nové bázi vypadat – stačí jejich pořadí otočit tak, aby poslední zbytek po dělení byl na nejvyšší (nejlevější) cifře a první zbytek po dělení na nejnižší (čili na místě jednotek).

Proč musíme mezivýsledky nakonec otočit? Je potřeba si uvědomit, co postupnou aplikací dělení získáváme. Podívejme se spolu na převod čísla 132 z desítkové soustavy do desítkové (ano, opravdu) soustavy, půjde to pěkně vidět.

Všimni si, že ve sloupečku výsledků modulo máme postupně hodnoty jednotek, desítek a stovek původního čísla. Můžeš se na to dívat i tak, že opakovaným dělením se posouváme po cifrách čísla doleva, zatímco modulem čteme hodnotu aktuální cifry. Pak cifra, kterou přečteme jako poslední, musí odpovídat hodnotě nejvyšší cifry, a proto je třeba ono otočení.

Zkusme si teď pomocí stejného postupu převést čísla 12₁₀ a 13₁₀ do binární soustavy.